线性代数(2)(自主模式)

自主模式

  • 什么是随堂模式?

    随堂模式课程一般为每学期一轮次,课程每周更新,作业、考试有截止时间,由课程提供方老师、助教指导,课程完结,成绩由老师确认后,统一发放证书。

  • 什么是自主模式?

    自主模式课程常年开放加入,课件全部开放,作业、考试无截止时间,有学堂在线招募选拔的助教指导,考核通过即可自动获得证书。

国家级精品

来自于: 清华大学 | 分类: 数学(272)

课程描述

作为线性代数(1)的后继课程,继续结合应用介绍线性代数的基本概念和基本理论。内容包括:正定矩阵、相似矩阵(若当标准形)、奇异值分解、线性变换、广义逆、复矩阵以及线性代数在工程、几何、经济问题中的应用等。

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课程简介

线性代数是现代数学的基础之一,在物理、计算机图形学、工程、经济学等自然科学和社会科学各领域具有广泛和深刻的应用,同时线性代数是高等学校理工科各专业的一门重要基础课。本课程做为清华大学非数学理工科各专业学生重要的必修课程,介绍求解线性方程组、矩阵理论、向量空间和线性变换等线性代数的基本概念和基本理论,强调线性代数的理论与应用的结合。作为线性代数(1)的后继课程,线性代数(2)继续结合应用介绍正定矩阵、相似矩阵(若当标准形)、奇异值分解、线性变换、广义逆、复矩阵以及线性代数在工程、几何、经济问题中的应用等。通过本课程的学习,培养学生的数学逻辑思维和抽象思维能力,使学生具备线性代数的基本理论知识,熟练掌握求解线性方程组和矩阵运算、矩阵分解的基本方法,为后继的学习和提高奠定数学基础。

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课程章节

第一讲:正定矩阵
1.1 实对称矩阵A正定的充要条件
1.2 典型例题
1.3 半正定矩阵及其判别条件
1.4 二次型
1.5* 有心二次曲线(central conic)
1.6* 三维空间中的二次曲面-6类基本的二次曲面
1.7 二次型的分类
1.8 矩阵的合同
1.9* 惯性定理的证明
1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号
1.11* 正(负)定矩阵在函数极值问题中的应用
课后习题
第二讲:相似矩阵
2.1 引言
2.2 相似矩阵的性质
2.3 Jordan标准形
2.4 定理的证明
2.5 Jordan标准形的应用
课后习题
第三讲:奇异值分解
3.1 引言
3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
3.3 例题
3.4 奇异值分解的应用
课后习题
第四讲:线性变换 I
4.1 线性变换的定义和性质
4.2 线性变换的运算
4.3 线性变换的矩阵表示
4.4 线性变换与矩阵之间的关系
课后习题
第五讲:线性变换 II
5.1 恒同变换与基变换
5.2 图像压缩——基变换的应用
5.3 线性变换在不同基下的矩阵
5.4 矩阵分解与基变换
5.5 线性变换的核与像
5.6 不变子空间
5.7* 幂零变换
5.8* Jordan标准形
课后习题
第六讲:伪逆
6.1 伪逆
6.2 Moore – Penrose 伪逆
6.3 最小二乘法
课后习题
第七讲:工程中的矩阵
7.1 简介
7.2 弹簧模型
7.3 变量的线性关系
7.4 刚度矩阵
7.5 从离散到连续
课后习题
第八讲:图与网络
8.1 简介
8.2 图和矩阵
8.3 网络和加权Laplacian矩阵
8.4 关联矩阵的四个基本子空间
8.5 注记
课后习题
第九讲:Markov矩阵和正矩阵
9.1 问题引入
9.2 Markov矩阵
9.3 正Markov矩阵
9.4 正矩阵
课后习题
第十讲:Fourier级数
10.1 引言
10.2 内积空间
10.3 傅里叶级数
10.4 投影
10.5 关于Fourier变换的注记
课后习题
第十一讲:计算机图像
11.1 引言
11.2 平移
11.3 伸缩
11.4 旋转
11.5 投影和反射
课后习题
第十二讲:复数与复矩阵
12.1 引言
12.2 复矩阵
12.3 复正规阵
12.4 离散Fourier变换
12.5 快速Fourier变换
课后习题
结课寄语
结课寄语

授课教师

  • 马辉 清华大学 数学科学系 教授

    马辉博士,教授,2000年于北京大学数学学院获得理学博士学位,先后在清华大学、美国麻州州立大学Amherst分校作博士后研究。2004年6月起在清华任教。研究方向为微分几何。自2011年参加数学系与电子系的课程改革和共建项目,担任电子系大一学生的线性代数教学工作。

  • 徐帆 清华大学 数学科学系 副教授

    徐帆博士,副教授,2007年清华大学数学系获得理学博士学位,2009年在德国Bielefeld大学做洪堡博士后研究。2010年起,开始讲授线性代数本科课程。自2011年起担任电子系大一学生的线性代数教学工作。

  • 瞿燕辉 清华大学 数学科学系 副教授

    瞿燕辉博士,讲师,2006年于清华大学数学系获得理学博士学位,2008年11月至2010年3月在法国INRIA研究所做博士后。从2010年秋季学期开始讲授线性代数课程。

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常见问题

本课程采用什么教材?

没有固定教材。主要参考书为:(1)1. Gilbert Strang, Introduction to linear algebra, Fourth Edition, Wellesley-Cambridge Press, 2009.(2)G. Strang, 线性代数及其应用, 侯自新、郑仲三、张延伦译,南开大学出版社,1990.(3)David C. Lay, Linear Algebra and Its Applications, 机械工业出版社, 2004;中文版:线性代数及其应用(第3版),机械工业出版社,2005.(4)Carl D. Meyer, Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, SIAM